高1数学题 寻求帮助

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/15 23:28:18
已知函数y=f(x)的定义域为R，且对任意a.b∈R，都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当X>0时,f(x)<0恒成立,证明:(1)函数y=f(x)是R上的减函数
（2）函数y=f(x)是奇函数

(1)

设x1,x2∈R且x1>x2>0
所以f(x1)=f(x2)+f(x1-x2)
即f(x1)-f(x2)=f(x1-x2),又因为x1-x2>0,所以f(x1-x2)<0
即f(x1)-f(x2)<0,所以f(x)在(0,+∞)上为减函数
同理，令x2<x1<0,则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)<0,所以f(x1)<f(x2)
所以f(x)在(-∞,0)上也是减函数
所以f(x)在R上为减函数
(2)由于f(X)是奇函数，且定义于包含0，所以f(0)=0。又由于f(a+b)=f(a)+f(b)，所以0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x),故f(-x)=-f(x),是奇函数。