试讨论函数f(x)=x+a除以x（a 不等于0）在（0，＋∞）上的单调性

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/23 09:40:47
解：任取x1,x2∈(0,+∞)而且x1<x2,则
f(x2)-f(x1)=x2+（a除以x2）－x1－（a除以x1）=(x2－x1)+[a*(x1－x2)]除以（x1*x2）= (x2－x1)*[1－a除以(x1x2)]= (x2－x1)*[(x1x2－a)除以（x1x2）],

若a<0,则由x2－x1>0, x1x2>0, x1x2－a>0知f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)> f(x1).由单调性定义可以知，f(x)在(0,+∞)上单调递增。

若a>0,则当0<x1<x2≤根号a时,会有x2－x1>0,x1x2>0,x1x2－a<0,因此f(x2)－f(x1)<0即f(x2)< f(x1);当x2>x1>根号a时，会有x2－x1>0, x1x2>0, x1x2－a>0,因此f(x2)－f(x1)>0, 即f(x2) > f(x1). 由单调性定义可以知f(x) 在(0, 根号a]上单调递减，在[根号a, ＋∞)单调递增。
综上可知，当a<0时，f(x)=x+（a除以x） 在(0,+∞) 单调递增。
当a>0时，f(x)=x+（a除以x）在(0, 根号a]上单调递减，在[根号a, ＋∞)单调递增

我不明白为什么“0<x1<x2≤根号a” “x2>x1>根号a”的根号a是怎么来的？？

这个函数的基本形式为双曲线，昵称“耐克函数”（即第一象限内图象像耐克的商标）。
不难想象，当a>0时，它在第一象限内有一个最底点，即最小值。而当X=根号a时，函数取得最小值。
所以该函数的单调性要分两个部分讨论，而“分水岭”就是根号a。

PS：根号a是对x+a/x求最值得到的。
利用基本不等式，可知，x+a/x>=2*根号[x*(a/x)]=2*根号a
当且仅当x=a/x，即x=根号a时取等号。