求证一个与连续性有关的问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/31 08:17:56
求证函数f(x)=sum(n=1 to 无穷）（nx-[nx]）/n^2 在每个有理数处
间断。

说明：
“sum”代替求和号，[r]表示不超过r的最大整数。
已知结论的：
由于f（x）<＝sum(n=1 to无穷）1/n^2，无穷和一致收敛。且易分析知每个有限和在无理点处连续，所以由一致收敛性保证f(x)在此连续。关键在于设法说明在有理点处的情况。

今天太晚了，明天解答
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首先，探讨函数的几个性质
1.对于任意固定的n，记函数（nx-[nx]）/n^2为an(x),则an(x)在满足x=k/n （其中k是自然数）的点上间断，在其它点上连续。
2.再说具体一点，在间断点上是右连续，且右极限为0，左极限为1/n^2.

任意有理数r=p/q,其中p，q互素，下面证明f在r处不连续
对于正常数ε= 1/q^2
存在N>q,使得sum(n=N+1 to无穷）1/n^2<(ε/100)
由于N>q,又由性质1,aq(x)在r处间断
说明对于n=1,2,...,N的时候，函数an(x)中至少有一个aq(x)是在r处间断的。
所以把这n个函数分成两类：在r处间断的，在r处连续的（可能为0个）。
设使得an(x)在r处间断的n的集合为S1,连续的集合为S2，则S2集合的元素个数不超过N-1个。
则对于正数ε/100N,存在一个r的 左 邻域U(r:δ),使得当x属于这个邻域时，
满足一、对于任意的n∈S2，|an(x)-an(r)|<ε/100N；
二、对任意n∈S1，an(x)-an(r)>0.5/n^2
则任意x属于这个左邻域时，我们有
|f(x)-f(r)|
=|sum(n=1 to 无穷)(nx-[nx]）/n^2 -sum(n=1 to 无穷）（nr-[nr]）/n^2 |
>
|sum(n=1 to N）（nx-[nx]）/n^2 -sum(n=1 to N）（nr-[nr]）/n^2 |
-|sum(n=N+1 to无穷）（nx-[nx]）/n^2 -sum(n=N+1to无穷)(nr-[nr]）/n^2 |
>
|sum(n=1 to N）（nx-[nx]）/n^2 -sum(n=1 to N）（nr-[nr]）/n^2 |-ε/50
>
|sum(n跑遍S1）（nx-[nx]）/n^2 -sum(n跑遍S1）（nr-