钻牛角尖的三角函数概念问题～

不是，这属于类正弦（余弦）函数，正弦函数是单指的
对，那句话确实不是很严谨，我们单说正切，肯定指tan x
而题目中的例子只能说是正切函数的一个变形（伸缩）（还有平移），标准函数里自然不包括那个。如果老师或书上也说它是正切函数之类的话，只能是视觉和语言习惯，类正切而已

你那个图片里，其实是A〉0时才正确而不仅仅只有当A=1时
A=0时，函数是一条直线
A<0时，y=Atanx在x属于[k∏-∏/2,k∏+∏/2](k属于Z）是单调递减函数。
但是之所以说不在其定义域中为单调函数，是因为它的定义域是{x|x不等于k∏+∏/2，k属于Z}，函数定义域是中断的，不是连续区间，自然不是整个定义域中的单调增函数（那个图片有错误，所以还有补充：也不可能是定义域中的单调减函数）
这跟A的取值没有直接关系，A〉0只是一个必要不充分条件。
并且y=Atanx是周期函数，在x=k∏+∏/2（k属于Z）时从两个方向看，y趋向于正无穷和负无穷，函数没有意义。所以单调增区间只是每个周期，也只有那一段而已。既然和后面的周期不是连续的（中间隔了个x=k∏+∏/2的点），自然不吭是单调函数。

不过高中物理上对于正弦函数中是允许诸如y=Asin（wt+Φ)的情况的,但后面不能加B，即不能有y=Asin（wt+Φ)+B（B不等于0），这样平衡位置就不在x轴上了

这些定义其实都是随着学习的深入而变化的，先告诉你大概的，后面再具体深入。初三学电学总说电压为U，现在又变成更精确的电动势E.正弦函数等周期函数在生活中系数并不是精确的同y=sinx一样，常常有A、w、Φ存在
广义来说，只要诸如y=Asin（wt+Φ)的都是正弦函数（甚至可以加B），如果纯概念的话，就见仁见智了，因为所谓的定义在不同的编者不同的教材不同的使用情况下也会有主观的不同，很难给它钉死了。其他三角函数也是这样。你可以说它是类正弦（正切）函数，说它是正弦正切函数也没关系。

重在理解周期三角函数的本质和应用，这种定义不必太在意。如果你的作业中有死抠这个定义的题目，那我只能说，出题人实在没什么数学的领悟力，过于刻板和僵化。

你很谨慎（缺一点点扎实啊，呵呵，