已知锐角A，B满足(cosA/sinB)+(cosB/sinA)=2，求证A+B=90度

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/16 20:42:29
要过程

设x=cosA/sinB,则x+1/x=2,化为x^2-2x+1=0,(x-1)^2=0,解得x=1,即cosA/sinB=1,cosB/sinA=1
cosA/sinB=sinA/cosB=1
cosA/sinA=sinB/cosB
cosAcosB=sinAsinB
cosAcosB-sinAsinB=0
cos(A+B)=0
A，B是锐角
A+B=90°

用反证法吧
1.假如C>90°,则A+B<90°，0°<A< 90°-B< 90°，
所以0<sinA<sin(90°-B)=cosB
同理由A+B<90°,得0°<B<90°-A<90°,
所以0<sinB<sin(90°-A)=cosA
所以cosA/sinB>1,cosB/sinA>1
所以cosA/sinB+cosB/sinA>2,这与已经知cosA/sinB+cosB/sinA=2矛盾,所以C不大于90°.

2).假如C<90°,则A+B>90°,0°<90°-B<A<180°,
所以0<cosA<cos(90°-B)=sinB
同理由A+B>90°,得0°<90°-B<A<180°,
所以0<cosA<cos(90°-A)=sinA
所以cosA/sinB<1,cosB/sinA<1
所以cosA/sinB+cosB/sinA<2,这与已经知cosA/sinB+cosB/sinA=2矛盾,所以角C不小于90°

△ABC中
SINA>0 SINB>0
所以 COSA/SINB+COSB/SINA=2 去分母,得
SINA*COSA+SINB*COSB=2SINA*SINB
整理得
SINA(COSA-SINB)=SINB(SINA-COSB)
若SINA>COS