急,明天要交(关于函数周期)

来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/06/23 18:49:39
已知F(x)是实数集R上的函数,且对任意x属于R,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立
1。证明:f(x)是周期函数
2。已知f(3)=2,求f(2004)

已知函数f(x),当x,y属于R时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y)
1。求证:f(x)是奇函数
2。如果 x属于R+,f(x)<0,并且f(1)=-1/2,试求f(x)在去间[-2,6]上的最值

1.解:将x换成x+1,f(x+1)=f(x+2)+f(x)
再有f(x)=f(x+1)+f(x-1)两式相减得到f(x+2)=-f(x-1)
将x换成x-3,则上式变成f(x-1)=-f(x-3-1)=-f(x-4)
联立以上两个式子得到f(x+2)=f(x-4)
将x换成x+4则f(x)=f(x+6)
故f(x)是周期函数,周期是6
2.解:2004能被周期6整除,故f(2004)=f(0)
由于f(x-1)=-f(x-3-1)=-f(x-4)即f(x)=-f(x-3)
因此f(0)=-f(3)=-2

1.证明:令y=0,则f(x)=f(x)+f(0),
所以f(0)=0.
令y=-x,
则f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0,
所以f(-x)=-f(x),
所以f(x)是奇函数.
2.令x2>x1,则f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0故f(x)单调递减
因此f(x)在去间[-2,6]上的最值都是在区间短点取到
f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1是最大值
f(6)=2f(3)=2(f(1)+f(2))=2(f(1)+2f(1))=-3是最小值

第一题
f(x)=f(x+1)+f(x-1)
=f(x)+f(x+2)+f(x-1)
则f(x-1)=-f(x+2)
即f(x)=-f(x+3)=-[-f(x+6)]=f(x+6)
它是一个以6为周期的函数

f(2004)=f(0)=-f(3)=-2

第二题

xy都取0,f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0
x取-x,即f(0)=0=f(x)+f(-x),变形后看出,函数是奇函数

f(-1)=2,则f(-2)=f(-1)+f(-1)=4,f(-3)=f(-1)+f(-2)=6
因为是奇函数,所以f(3)=-6

然后是证明函数递减,设X1大于X2属于R
f(X