函数增减性证明

令a=0，b=0，则
f(0)=2f(0)/[1-f(0)^2]
f(0){1-2/[1-f(0)^2]}=0
得
f(0)=0或者1-2/[1-f(0)^2=0(舍弃)

令a=-b
则f(a+b)=f(0)=[f(a)+f(-a)]/[1-f(a)f(-a)]=0
消去分母，得
f(a)+f(-a)=0
即f(a)=-f(-a)
说明f(x)为奇函数

令a>0，b>0，则a+b>a，f(a)>0，f(b)>0，f(a+b)>0
原公式f(a+b)=[f(a)+f(b)]/[1-f(a)f(b)]消去分母
f(a+b)-f(a+b)f(a)f(b)=f(a)+f(b)
f(a+b)-f(a)=f(a+b)f(a)f(b)+f(b)>0
∴f(x)为增函数

没看明白，要证明什么？
另外，如果取a,b 均为0时有
f(0)=2f(0)/(1-f(0)*f(0))
化简 有 1-(f(0))^2=2 这是不可能的

我咋觉得你描述的是正切函数y=tgx，f(a+b)=[f(a)+f(b)]/[1-f(a)f(b)].
即：tg(a+b)=(tga+tgb)/(1-tga*tgb)
你是想证明f(x)的单调性吗？

证明：f(x)定义为(-m,m)关于原点对称
f(a+b)=[f(a)+f(b)]/[1-f(a)f(b)]
令a=b=0得f(0)=2f(0)/[1-f^2(0)]，由于1-f^2(0)≠2,所以f(0)=0
令b=-a得f(0)=[f(a)+f(-a)]/[1-f(a)f(-a)]=0,所以f(-a)=-f(a),f是奇函数
设0<x1<x2<m，则0<x2-x1<m，所以f(x1-x2)>0
即[f(x1)-f(x2)]/[1+f(x1)f(x2)]>0,因为f(x1)>0,f(x2)>0,所以1+f(x1)f(x2)>0,故f(x1)-f(x2)&