初三华罗庚数学试题

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a=1或a=1/2或a=1/3
首先，要使方程有两根，由跟的判别式可推出28a^4-3a^2>=0,即
a^2>=3/28
两根都是整数，由韦达定理可得
x1+x2=-1/a
x1x2=1/a^2-7
要使x1,x2均为整数，则a要小于或等于1
因为a^2>=3/28，1/a要是整数
a=1或a=1/2或a=1/3

x^2+ x/a +(1/a^2 -7)=0
设x1+x2=-1/a=k, 因为a是正数 故k是负整数
所以方程即:x^2-kx+(k^2-7)=0
判别式=k^2-4(k^2-7)=28-3k^2>=0
又因为k是负整数
所以-3=<k<=-1
验证k=-1，-2，-3时均满足条件
所以满足条件的a之和=1+1/2 +1/3=11/6

en

使二次方程
(a^2)(x^2)+ax+1-7a^2=0
的两根都是整数
那么a^2-4a^2(1-7a^2)>0
得a^2>3/28
设根为X1,X2
X1+X2=-1/a
X1X2=1/a^2 - 7
因为X1,X2是整数，所以-1/a，1/a^2 - 7也为整数。且有a^2>3/28
当a=1时成立。
-1/a要为整数，a只能1，1/2,1/3...
1/a^2 - 7也为整数，1/a^2也要为整数，a^2只能1，1/2,1/3...又a^2>3/28
所以a=1/2,或者1/3
所以满足条件的a之和为1+1/2+1/3=11/6

将方程看作以a为未知数,
求出存在a使等式成立的x的范围
则x^2<=28
因为两根都是整数
所以-3<=x<=3
x=-3时,代入等式
得a的正数解为1/2,1
x=-2时,代入等式
得a的正数解为1/3
x=-1时,代入等式
得a的正数