UC知道2道超简单的高中数学
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/28 18:30:09
一．已知f（x）是定义在【-1，1】上的奇函数，当a，b∈【-1，1】，且a+b≠0，有f（a）+f（b）／a+b＞0 求：
（1）判断函数飞f（x）的单调性，并给予证明。
（2）若f（1）=1，且f（x）≤m^2-2bm+1对所有x∈【-1，1】，b∈【-1，1】恒成立，求实数m的取值范围。
二．设函数f（x）=|lgx|，若0<a<b，且f（a）>f（b），证明ab<1
（1）判断函数飞f（x）的单调性，并给予证明。
（2）若f（1）=1，且f（x）≤m^2-2bm+1对所有x∈【-1，1】，b∈【-1，1】恒成立，求实数m的取值范围。
二．设函数f（x）=|lgx|，若0<a<b，且f（a）>f（b），证明ab<1
一.
(1)设b'=-b,有[f(a)+f(b')]/(a+b')>0,即[f(a)-f(b)]/(a-b)>0{奇函数}
即f(a)-f(b)与a-b同号,这说明f(x)是增函数
(2)由f(x)的单调性,知f(x)的最大值为1.
f（x）≤m^2-2bm+1对所有x∈[-1，1]
即m^2-2bm+1≥1,对所有x∈[-1，1]{即m^2-2bm+1不比f(x)最大值小}
即m^2-2bm≥0,对所有b∈[-1，1]
而m^2-2bm是关于b的一次函数g(b){把b当作主元!}
只需g(1)≥0且g(-1)≥0
于是m^2-2m≥0,m^2+2m≥0
由此解得m≥2或m≤-2或m=0{注意是闭区间,不要把0这个点漏了}
二.不妨采用反证法:
假设ab≥1,因ab均为正数且b>a,显然有b>1.则f(b)=lgb
如若a>1,则由a<b可得f(a)<f(b)与题矛盾.于是a<1{这里单独用反证法证明a<1}
那么f(a)=|lga|=-lga.而f（a）>f（b）,即-lga>lgb
于是lga+lgb<0,即lg(ab)<0.这与假设ab≥1是矛盾的!
所以假设不成立.即可证明ab<1