四道积分题目

我说过我会尽全力的...

关于第一题，侯宇诗的作法和火星的答案是正确的。

我觉得LS没有弄清楚函数列各项指的究竟是什么，ln(1-x)展开约简之后，函数列各项实际上是fn(x)=x^(n-1)/n 容易证明这个正项函数列在(0,1)上是一致收敛的 (limfn<1/n-->0)，那么，这个时候，积分求和可以改变顺序。而lnx/(1-x)，这只是一个可怜的不一致收敛的函数，不是函数列...

真正不能改变顺序的 应该是∫(x=1->∞)∑(lnx/(1-x))

(2)

火星的答案是正确的。这是我的做法

(n=1->∞)∑1/[2^n(2n-1)]

=(1/sqrt2) (n=1->∞)∑1/[(1/sqrt2)^(2n-1)/(2n-1)]
奇数等于全体减去偶数

=(n=1->∞)∑(1/sqrt2)^n/n-(n=1->∞)∑(1/sqrt2)^(2n)/2n

=(1/sqrt2)[0.5ln(1-1/2)-ln(1-1/sqrt2)]

=ln(1+sqrt2)/sqrt2 = arcsin(1)/sqrt2

(4)利用Cauchy准则

函数项级数∑un一致收敛 等价于 对于所有 m>0 存在N 对于所有n>N 和 所有的正整数p 有|u(n+1)+u(n+2)+...+u(n+p)| < m 而对于所有的n属于N,un>0

即证lim n-> 正无穷 un = 0

而lim un = n^2(x^n+1/x^n)/e^n <= lim n^2/(e/2)^n -->0

故对于所有的 x 属于 [1/2,2] 都有 lim un = 0

由cauchy准则 函数项级数在[1/2,2]上一致收敛

第1题虽然-(Pi^2/6) 这个结果虽然很美妙，但是过程是错的，原因是在没有论证一致收敛情况下