设a、b、c、d属于R，用向量方法证明（ab+cd)的平方小等于（a方+c方）乘以（b方+d方）

作向量m={a,c}，n={b,d},则m与n的数量积=ab+cd,设向量m与n的夹角为θ，
则(ab+cd)/(|m||n|)=cosθ,两边平方，因为|m|^2=a^2+c^2,|n|^2=b^2+d^2
所以[(ab+cd)^2]/[(a^2+c^2)(b^2+d^2)]=(cosθ)^2≤1
从而有(ab+cd)^2≤(a^2+c^2)(b^2+d^2)。

向量m=(a,c)，向量n=(b,d)
|m|=根号(a²+c²)，|n|=根号(b²+d²)，mn=ac+bd

因为mn=|m|*|n|*cos<m,n>
所以|mn|≤|m|*|n|
所以|ac+bd|≤根号[(a²+c²)(b²+d²)]
两边平方得
(ac+bd)²≤(a²+c²)(b²+d²)

补充：<m,n>表示向量m与向量n的夹角，|cos<m,n>|≤1