均值定理的不等式问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/11 17:18:43
已知啊a、b是正实数，且a+b=1,求证：（a+1/a）（b+1/b)≥25/4

0<ab<=1/2(a+b)^2=1/4
(a+1/a)(b+1/b)=ab+1/ab+a/b+b/a
ab+1/ab>=1/4+4=17/4函数在（0，1）上是减函数
a/b+b/a>=2
(a+1/a)(b+1/b)>=25/4

ab+a/b+1/ab+b/a
=(a平方b平方+a平方+1+b平方)/ab
=[a平方b平方+(1-2ab)+1]/ab
=[(ab-1)平方+1]/ab

a+b=1
ab<=(a+b/2)^2=1/4

所以：(ab-1)^2+1≥25/16,0<ab≤1/4,
左式≥25/4.