高二均值不等式问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/12 06:23:30
某市一次征兵体检中,要查清众多应征者是否有携带某种传染病毒者,查明需通过一项成本高、耗时的血液化验，据医学统计知，带有该病毒的人所占比例很小。因而采取一种叫“群试”的方法：把从每位应征者身上的抽取的血液分成两部分，一份保存备用，另一份分组混合在一起；混合的每组化验一次，若化验合格，则整组的应征者合格；若化验不合格，说明这组人中有带病毒者，进而再用备用血逐个查明，若该市今有10000名应征者，假设带病毒者占千分之二点五，每化验一次花费30元。问：平均分成多少组时，群试较逐个化验至少能节省的费用最多？

假设分成x组,又假设很不幸每个组正好只有一个病毒者,这个时候需要测试最多次.而测试费用是
30x+10000/x*25*30(x>25)
因为x小于25的话,如果每个组都有,那么测试费用肯定高于逐个化验.
上面那个公式也就是求它最小值
最小值的时候30x应该等于7500000/x
此时,x=500
分成500组,此时费用是30000,比逐个测试的300000节约27万元

由题得10000*0.25%=25,
可知分的组数必须大于25才有节省的可能，
设分为n组，
即n>25,接下求的是分组后费用的最大值
(即25个病毒者都被分到不同组)：
[n+(10000/n)*25]*30>=1000*30=30000,
当且仅当n=500时等号成立。
故至少节省的费用为：
30*10000-30000=270000(元)。