高二均值不等式

1) 由a+b+c=1 有(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=1.
又由均值不等式有a^2+b^2>=2ab,b^2+c^2>=2bc, a^2+c^2>=2ac,三式相加有(a^2+b^2+c^2)*2>=2ab+2bc+2ac,两边同时加上a^2+b^2+c^2有
a^2+b^2+c^2)*3>=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=1,
所以a^2+b^2+c^2>=1/3

2)用a+b+c替换1/a-1中的1,有1/a-1=(b+c)/a>=2√bc/a,同理,1/b-1=(a+c)/b>=2√ac/b,1/c-1=(a+b)/c>=2√ab/c,所以
(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)=[(b+c)/a][(a+c)/b][(a+b)/c]
>=(2√bc/a)(2√ac/b)(2√ab/c)
=8abc/abc=8
所以(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)>=8