高一数学函数题（在线等）

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/27 00:57:10
设函数y=f(x)定义在R上，对任意实数m,n，恒有f(m+n)=f(m)·f(n)，且当x>0时，0<f(x)<1

求证：(1)f(0)=1且当x<0时，f(x)>1
(2)f(x)在R上递减

注意：·是乘号

由题意可得：
(1) 令m=n=0，则f（0）=f（0）*f（0），则f（0）=1
又令m=-n，则f（m-n）=f(m)*f(-n)=1,又因为当x>0时，0<f(x)<1，所以f（-n）>0,则当x<0时，f（x）>1
(2)令X1>X2>0,则f（X1-X2+X2）=f（X1-X2）* f（X2）< f(X2)
则f(x)在大于0的区域上递减
同理可得：f(x)在小于0的区域上递减，
又利用（1）的结论可得：f(x)在R上递减