函数及其应用

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/27 08:32:42
设函数f(x)对所有x>0均有定义,且满足下列三个条件:
①函数f(x)在(0,+∞)上为减函数;
②对所有x>0,均有f(x)>(1/x);
③对所有x>0,均有f(x)*f[f(x)+(1/x)]=1.
试求函数值f(1)

解：f(1)=(1+√5)/2

令x=1,则f(1)f[f(1)+1]=1,
有f[f(1)+1]=1/f(1)①
再令x=f(1)+1,代入f(x)*f[f(x)+(1/x)]=1.
则f[f(1)+1]f{f[f(1)+1]+1/[f(1)+1]}=1
将①代入,得[1/f(1)]f{1/f(1)+1/[f(1)+1]}=1
所以f{1/f(1)+1/[f(1)+1]}=f(1)
因为函数单调，所以有1/f(1)+1/[f(1)+1]=1
解得f(1)=(1+√5)/2或f(1)=(1-√5)/2
又因为x>0,均有f(x)>(1/x);
所以f(1)=(1+√5)/2