帮忙证明周长一定的情况下,正三角形的面积最大

海伦公式:
令p=(a+b+c)/2
则s=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))
由于周长固定可知p是固定的!
由均值不等式三个变量的情况
[(p-a)(p-b)(p-c)]^(1/3)<=[p-a+p-b+p-c]/3
得到(p-a)(p-b)(p-c)<=((3p-(a+b+c))/3)^3=(p/3)^3
两边乘以一个p得p(p-a)(p-b)(p-c)<=(p^4)/27
所以s=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))<=p^2/(3*sqrt(3))
其中均值不等式取等号的条件为
p-a=p-b=p-c也就是a=b=c
即三角形在三边相等时取最大值
且最大值为p^2/(3*sqrt(3))其中p=(a+b+c)/2