任意给定一个正三角形，是否存在另一个正三角形，它的周长和面积分别是已知正三角形周长和面积的一半

不可能
正三角形
周长和面积可以互相换算
公式是S=3^(0.5)*l^(2)/36
S与l的平方成正比（这里l就是周长了，边长是l/3）
所以如果另外一个正三角形周长是这个的2倍，面积一定是4倍，呵呵

不可能

正三角形

周长为算术级数

面积为几何级数

在非欧几（欧基理德几何）中是可以的，比如在黎曼曲面几何中。

比如说地球表面的三角形，其面积是比欧几里的三角形面积大。同样一个特定的黎曼空间里的曲面上，也可以使得其三角形比欧几里的面积小。从而可以构造出两个三角形，满足你的要求。

也许你会说这个不是三角形（欧几定义），但是宇宙空间的真实情况却是黎曼几何的，没有什么东西可以保证是笔直的和平面的，即使光线也是弯曲的，所以按照欧几定义的直线，在黎曼几何中也是绝对欧几中的曲线，欧几只是黎曼几何空间中一个平滑的部分。所以在相对论中，需要使用黎曼几何，而不是欧几。

除了正三角形，还有正方形，正多边形，圆，还有……类似的：
如果它们的周长缩小一半，那么面积就缩小为四分之一!
如果它们的周长缩小为原来的1/n(n分之一)，那么面积就缩小为原来的1/n^2(n的平方分之一)!!

不可能——周长增大为原来二倍之后，面积将增大为原来的四倍，即平方变化关系。