圆O1与圆O2相交于A,B且O2在圆O1上,AD是圆O2的直径,DB延长线交圆O1于C,求证CO2垂直AD

解法一
∵因为连心线垂直平分公共弦及弦所对的弧
∴弧BO₂= 弧AO₂
∴在圆O₁中，∠O₂CA=∠O₂CB（等弧所对圆周角相等）
又O₂为直径AD的中点，所以CO₂兼为△ACD的中线和角平分线
故△ACD为等腰三角形，CO₂亦是其底边AD上的高，即AD⊥CO₂

解法二（近于1楼）

AD是圆O₂的直径，所以∠ABD和∠ABC为直角。
ABCO₂内接于圆O₁，所以∠AO₂C=∠ABC，即AD⊥CO₂

证明：
连接AB
在圆O1中，角O2AB=角O2CB
在圆O2中，三角形ABD是直角三角形
所以角DAB+角DBA=90°
所以角O2CD+角O2DB=90°

故CO2垂直AD

连接AC，
圆01中角ACO2和角BCO2所对的弧等长，则角ACO2=角BCO2=1/2*角ACB。
在圆O2中，圆周角ADB是圆心角AO2B的一半。
而角ACB+角A02B=180度，因此：
角ACO2+角ADB=1/2*180度=90度，CO2垂直于AD。

注：还是一楼的方法好

证明：连接O2、B.则根据圆的性质（圆内对应同一条弦的角相等），<DAB=<O2CB,因此不难得出：三角形DAB相似于三角形DCO2.而，<ABD=90度，所以<DO2C=90度。即，CO2垂直AD.