一道数学题,急 需完整证明

我们知道：1/i=s[i,i+1](1/i)dx （注：这里s[i,i+1]表示在区间[i,i+1]上的定积分，可以自己验算一下这个式子的正确性）
因此：1/i> s[i,i+1](1/x)dx
S>1+s[2,3](1/x)dx+s[3,4](1/x)dx+...+s[n,n+1](1/x)dx
=1+s[2,n+1](1/x)dx
=1+Ln(n+1)-Ln2>Ln(n+1)
因Ln(x)是增函数，并且没有上限，故S最终可以大于100。实际上，只要让Ln(n+1)>100，即n>e^100-1就可以了。

当n很大时，有：1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+...1/n = 0.57721566490153286060651209 + ln(n)//C++里面用log(n)，pascal里面用ln(n)
0.57721566490153286060651209叫做欧拉常数

to GXQ:
假设;s(n)=1+1/2+1/3+1/4+..1/n

当 n很大时 sqrt(n+1)
= sqrt(n*(1+1/n))
= sqrt(n)*sqrt(1+1/2n)
≈ sqrt(n)*(1+ 1/(2n))
= sqrt(n)+ 1/(2*sqrt(n))
设 s(n)=sqrt(n),
因为：1/(n+1)<1/(2*sqrt(n))
所以：
s(n+1)=s(n)+1/(n+1)< s(n)+1/(2*sqrt(n))
即求得s(n)的上限

1+1/2+1/3+…+1/n是没有好的计算公式的，所有计算公式都是计算近似值的，且精确度不高。
自然数的倒数组成的数列,称为调和数列.人们已经研究它几百年了.但是迄今为止没有能得到它的求和公式只是得到它的近似公式(当n很大时):

1+1/2+1/3+......+1/n≈lnn+C(C=0.57722......一个无理数,称作欧拉初始,专为调和级数所用)