数列...会的请进

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/03 22:44:14
数列An中，A1=5，前n项和是Sn
且S(n+1)=2Sn+n+5
(1)A(n+1)和An的关系
(2)求An的通项公式
(3)令f(x)=a1x+a2x^2+……+anx^n
求f(x)在点[1,f(1)]处切线的斜率

A(n+1)=S(n+1)-Sn=Sn+n+5
所以An=S(n-1)+(n-1)+5=S(n-1)+n+4
所以A(n+1)-An=(Sn+n+5)-[S(n-1)+n+4]
=Sn-S(n-1)+1
Sn-S(n-1)=An
所以A(n+1)-An=An+1
A(n+1)=2An+1

A(n+1)+1=2(An+1)
令Bn=An+1
则Bn是等比数列
q=2
则B1=A1+1=6
Bn=6*2^(n-1)=3*2^n
An=Bn-1=3*2^n-1

f'(1)=A1+2A2+3A3+……+nAn
=3*2^1-1+2*(3*2^2-1)+……+n(3*2^n-1)
=3*(2^1+2*2^2+3*2^3+……n*2^n)-(1+2+……+n)
令S=2^1+2*2^2+3*2^3+……+n*2^n
2S=2^2+2*2^3+3*2^4+……+(n-1)*2^n+n*2^(n+1)
S=2S-S=n*2^(n+1)-(2^n+……+2^1)
=n*2^(n+1)-(2^(n+1)-2)
=(n-1)*2^(n+1)+2
所以f'(1)=3*(n-1)*2^(n+1)+6-n(n+1)/2