一道不等式的证明题

左边只需证3（a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^2>=0
3a^2+3b^2+3c^2-(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc)=a^2+b^2+2ab+a^2+c^2+2ac+b^2+c^2+2bc=(a+b)^2+(a+c)^2+(b+c)^2>=0
当a=b=c=0时取等号
右边只需证(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca）>=0
(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc)-3(ab+bc+ca）=(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2>=0
证毕

首先 （x-y)^2>=0, 展开得：x^2+y^2>=2xy。下面利用这个不等式证明结论：

a^2+b^2>=2ab
b^2+c^2>=2bc
c^2+a^2>=2ca
三个式子相加得；
2(a^2+b^2+c^2)>=2ab+2bc+2ca （1）

两边同时加上a^2+b^2+c^2得：
3(a^2+b^2+c^2)>=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2
这就证明了第一个不等式。

同样，在（1）式的两边同时加上ab+bc+ca得：
2(a^2+b^2+c^2)+ab+bc+ca>=3(ab+bc+ca)
即：
(a+b+c)^2>=3(ab+bc+ca)

首先 （x-y)^2>=0, 展开得：x^2+y^2>=2xy。下面利用这个不等式证明结论：

a^2+b^2>=2ab
b^2+c^2>=2bc
c^2+a^2>=2ca
三个式子相加得；
2(a^2+b^2+c^2)>=2ab+2bc+2ca （1）

两边同时加上a^2+b^2+c^2得：
3(a^2+b^2+c^2)>=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2
这就证明了第一个不等式