一道高中不等式~

很简单
(1)证明：构造函数f(x)=x/(1+x) x∈[0,+∞) 根据求导法则f'(x)=1/(1+x)²>0
故该函数f(x)在[0,+∞)上单调递增
由于0≤|x1+x2|≤|x1|+|x2|≤|x1|+|x2|+|x1||x2|
故f(|x1+x2|)≤f(|x1|+|x2|)≤f(|x1|+|x2|+|x1||x2|)
从而
|x1+x2|/(1+|x1+x2|)≤(|x1|+|x2|)/[1+(|x1|+|x2|)]
≤(|x1|+|x2|+|x1||x2|)/[1+(|x1|+|x2|+|x1||x2|)]
≤(|x1|+|x2|+2|x1||x2|)/[1+(|x1|+|x2|+|x1||x2|)]
≤[|x1|(1+|x2|)+|x2|(1+|x1|)]/[(1+|x1|)(1+|x2|)]
=|x1|/(1+|x1|)+|x2|/(1+|x2|)
故|x1+x2|/(1+|x1+x2|)≤|x1|/(1+|x1|)+|x2|/(1+|x2|)成立
(2)上述结论可以推广为
|x1+x2+...+xn|/(1+|x1+x2+...+xn|)
≤|x1|/(1+|x1|)+|x2|/(1+|x2|)+...+|xn|/(1+|xn|)
证明:根据(1)得函数f(x)=x/(1+x)在[0,+∞)上单调递增
根据
0≤|x1+x2+...+xn|≤|x1|+|x2|+...+|xn|
≤|x1|+|x2|+...+|xn|+|x1||x2|+...+|xn-1||xn|+...+|x1||x2|...|xn|
=(1+|x1|)(1+|x2|)...(1+xn)
则f(|x1+x2+...+xn|)≤f(|x1|+|x2|+...+|xn|)
≤f((1+|x1|)(1+|x2|)...(1+|xn|))
这样
|x1+x2+...+xn|/(1+|x1+x2+...+xn|)
≤(|x1|+|x2|+...+|xn|)/[1+(|x1|+|x2|+...+|xn|)]
≤