高中数学题一道（不等式的）

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/09 19:49:06
已知0<a<1,0<b<1,0<c<1,求证（1－a)b、(1-b)c、(1-c)a中至少有一个不小于1/4
用反证法，假设全都大于1/4
请问下面怎么算啊？.........忘记掉怎么做了.......

假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于1/4
因为0<a<1,0<b<1,0<c<1,所以√((1-a)b)>1/2,√((1-b)c)>1/2,√((1-c)a)>1/2 即√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a)>3/2(*)
又因为√((1-a)b)小于等于(1-a+b)/2,√((1-b)c)小于等于(1-b+c)/2,√((1-c)a)小于等于(1-c+a)/2,所以√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a)小于等于3/2,这与√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a)>3/2(*)矛盾,假设不成立,故(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个小于或等于1/4