一道蛮难的数学证明题 求解答过程

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/24 13:15:53
设a1 a2 。。。an为正实数 且a1+a2+。。。+an<1
求证a1a2。。。an*【1-（a1+a2+。。。+an）】/【（a1+。。+an）（1-a1）（1-a2）。。（1-an）】《n的n+1次方分之一

设1-(a1+a2+。。。+an)=a(n+1)，那么你要证的就是
a1a2……an*a(n+1)/((1-a1)(1-a2)……(1-an)(1-a(n+1)))<=1/n^(n+1)
利用均值不等式，(1-a1)/n=a2+a3+……+a(n+1)/n>=（a2a3……a(n+1)）^(1/n)=I^(1/n)/a1^(1/n)。其中I=a1a2……an*a(n+1)
同理可得另外n个不等式。这n+1个不等式相乘，得到
(1-a1)(1-a2)……(1-an)(1-a(n+1))/n^(n+1)>=I^((n+1)/n)/I^(1/n)=I
这就是你所要证明的