问一道初中数学竞赛题

定a,b为直角边
先所有等式同时平方
a^2+2+1/a^2=b^2+2+1/b^2=c^2+2+1/c^2
列出等式有:

a^2+1/a^2=b^2+1/b^2 ---式1
a^2+1/a^2=c^2+1/c^2 ---式2
又因为是RT三角形,所以有
a^2+b^2=c^2
将C^2代入式2
a^2+1/a^2=a^2+b^2+1/(a^2+b^2)---式子3

定义x=a^2,y=b^2 显然x,y都是大于0的实数
则式3为
x+1/x=x+y+1/(x+y)
1/x=y+1/x+y
x+y=xy(x+y)+x
y=xy(x+y)
x(x+y)=1 ---式子4

式1化简
x+1/x=y+1/y
x^2y+y=y^2x+x
x^2y-y^2x=x-y
xy(x-y)=x-y ----式子5
如果x≠y
则,xy=1 ----式子6
联立式子4,6
x(x+y)=1
xy=1
解得x=0,显然这样的x不会在三角形中存在,
所以要满足式子5,只可能x-y=0
由于x-y=0,所以式子1为无效方程,此时x=y
将X=Y代入式子4
x(x+x)=1
2x^2=1
x=√2/2
所以y=√2/2
即a^2=b^2=√2/2,且a>0,b>o
所以a=b
同时c^2=a^2+b^2=√2/2+√2/2=√2
c=2^0.25 (2的0.25次方,即表示4次根号下2)
设斜边上的高为H
则ab=cH
即a^2=cH
H=a^2/c=(√2/2)/2^0.25 =(2^0.25)^2/(2*2^0.25) ----根号2可以表示为4次根号下2的平方
H=2^0.25/2 (即4次根号下2 除以2)

本题由于开方次数太高,就不把a,b的值写出来了...实际最后可以看出a=