数学问题 4题 100分

1，解：函数的定义域为[-1,1].
因为函数g(x)=arccosx,x属于[-1,1]与函数h(x)=ax^3，a<0,x属于[-1,1]均为减函数，所以F(x)=arccosx+ax^3+1(a<0),x属于[-1,1]为减函数.
所以F(x)的最小值在当x=1时取得，即F(1)=0+a+1=0,解得:a=-1,所以函数的最大值为:F(-1)=派+1+1=派+2.

2,问题：函数f(x)是奇函数且在[-1,1]上单调递增,f(-1)=-1,若f(x)≤t^2-2at+1对所有的x∈[-1,1]及a∈[-1,1]都成立,求t的取值范围.

解：f(x)≤t^2-2at+1对所有的x∈[-1,1]及a∈[-1,1]都成立等价于:f(x)的最大值≤t^2-2at+1对于所有的a属于[-1,1]都成立.
因为f(x)在[-1，1]上是增函数，所以其最大值在当x=1时取得，因为f(-1)=-f(1)=-1,所以f(1)=1,所以：1≤t^2-2at+1对于所有的a属于[-1,1]都成立
设一次函数g(a)=-2t*a+(1+t^2),a属于[-1，1]，所以g(-1)>=1,且g(1)>=0,解得：t≤-2,或者，t≥2,或者t=0

3,tan θ/2=1/2,分子：cos（π-θ）.sin（π-θ）分母：cos（2π-θ）.[sin(3/2π-θ)+1]

解：原式=-(cosθ*sinθ)/[cosθ*(1-cosθ)] (由tanθ/2=1/2得cosθ非零)
=-sinθ/(1-cosθ)=-[2*sin(θ/2)*cos(θ/2)]/2{[sin(θ/2)]^2}
=-cot(θ/2)=-2

4,原式=[2(cos2α)^2+2sin(2α)*cos(2α)]/[2(sin2α)^2+2sin(2α)*cos(2α)]
分子分母含有公因式2cos(2α)+sin(2α),约分
=cot(2α)

解：<