!一道入门级极限题!（200分大酬宾!!）

昏……lz你这题可以用利用公式sinπt/(πt)=连乘n从1到无穷(1-t^2/n^2)来做：在里面令t=i，就有:连乘n从1到无穷(1+1/n^2)=(e^(iπt)-e^(-iπt))/(2iπt)|(t=i)=(e^(-π)-e^(π))/(-2π)=(e^π-e^(-π))/(2π)。那么问题是这个公式怎么来的？
首先利用cos(2n+1)x+isin(2n+1)x=e^(i(2n+1)x)=(cosx+isinx)^(2n+1)=∑C(2n+1,k)(cosx)^k(isinx)^(2n+1-k)，两端比较虚部得sin(2n+1)x=sinx∑C(2n+1,2k)(1-(sinx)^2)^k*(-1)^(n-k)*((sinx)^2)^(n-k)
由此可见sin(2n+1)x=sinxP((sinx)^2)。其中P(t)是关于t的n次多项式，具体形式比较恶心，但不难知道P(x)的常数项是2n+1
当xk=kπ/(2n+1)(k=1,2,...,n)时，都有sin(2n+1)x=0，sinx不等于0.所以P((sin(xk))^2)。由此可见sin(kπ/(2n+1))^2这n个数都是P(t)=0的根。但是P是n次多项式，他最多才n个根，所以这些就是P的所有根。所以P有如下分解形式：P(t)=(2n+1)连乘(1-t/sin(kπ/(2n+1))^2)
于是sin(2n+1)x=sinxP((sinx)^2)=(2n+1)sinx连乘(1-(sinx)^2/sin(kπ/(2n+1))^2)。把x用x/(2n+1)代入：sinx=(2n+1)sin(x/(2n+1))连乘(1-(sinx/(2n+1))^2/sin(kπ/(2n+1))^2)。 -------(1)
关键在于(1)式。右边令n趋于正无穷，则=(2n+1)sin(x/(2n+1))趋于x，(1-(sinx/(2n+1))^2/sin(kπ/(2n+1))^2)趋于1-x^2/(kπ)^2
所以sinx=x连乘(1-x^2/(kπ)^2)。 --------(2)
再把x换成πx就行了。
不过，由(1)得到(2)的这一步我写得不严谨，严谨证明过程lz还是去参看菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》第二