数学概率问题，求数学期望一类的

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/01 11:13:08
在一次考试中有10道多选题，每题有4个可选项。10道题目中有4道题有2个正确的可选项，6道题有3个正确的可选项，规定恰选中所有正确选项得10分，少选，多选均不得分。某人完全不知道答案，但知道不会有只有1个正确可选项以及4个全是正确可选项的情况。假定他对每题随机选2个或3个选项（一半选2个，一半选3个），求他的平均总分。如果他知道两类题的比例，他是否按照这个比例来选题（随机选4个题，在其中选2个可选项，另6个题在其中选3个可选项）？
要详细过程，帮帮忙！！！

先解第一小问：假定他对每题随机选2个或3个选项（一半选2个，一半选3个），求他的平均总分。

假定在做一道有2个正确选项的题，
那么如果随机选2个选项，命中率为 1/6。
那么如果随机选3个选项，命中率为 0。
既然一半选2个，一半选3个，那么命中率为 0.5*1/6 + 0.5*0 = 1/12

假定在做一道有3个正确选项的题，
那么如果随机选2个选项，命中率为 0。
那么如果随机选3个选项，命中率为 1/4。
既然一半选2个，一半选3个，那么命中率为 0.5*0 + 0.5*1/4 = 1/8

所以平均总分为 4*1/12+6*1/8 = 13/12

再解第二小问。如果知道两类题的比例，即10道题目中有4道题有2个正确的可选项，6道题有3个正确的可选项，那我们假设为了使总分的期望值最大，应该选 x 个题，在其中选2个可选项，另 10-x 个题在其中选3个可选项。

假定在做一道有2个正确选项的题，
那么如果随机选2个选项，命中率为 1/6。
那么如果随机选3个选项，命中率为 0。
那么命中率为 x/10*1/6 + (1-x/10)*0 = x/60

假定在做一道有3个正确选项的题，
那么如果随机选2个选项，命中率为 0。
那么如果随机选3个选项，命中率为 1/4。
那么命中率为 x/10*0 + (1-x/10)*1/4 = 1/4 - x/40

总分的期望值为 4*x/60 + 6*(1/4-x/40) = 3/2 - x/12
为了使其尽可能大，x尽可能小，故取0
所以所有题目都应该选3个答案，且此时平均总分为1.5