在平面上给出7个点,试证:一定能画出一个圆,使得圆内有4个点,圆外三个点

这道题本质是求证任意有限条直线不能充满整个平面
假设有n条直线，选定平面内一个定点A，过这个定点A有无穷多条直线
在这些直线中去除n条直线中过该定点的那些之后，还有无穷条直线过A
此时这无穷多条直线中的任意一条l，与那n条直线中不过A的有限条直线有有限多个交点（与每一条最多一个），而直线l上的点是无穷的，从而至少存在1点属于l，不属于该n条直线

这样7个点有21条中垂线（每2点一条），除去这21条中垂线之后，平面上还有点（就是说这21条直线不能充满整个平面）那么这些点中任意一个（不妨记作O），O到这7个点的距离都是不相等的（因为O不在任意一条中垂线上），记这7个距离（由小到大）为d1，d2，d3，d4，d5，d6，d7，它们各不相等，那么存在一个数大于d4，小于d5，记作R，以O为圆心，以R为半径，即满足题设要求

我是读理科的，没办法说通俗……
第一段你就忽略它吧，第二段21条中垂线你总明白吧？这21条不可能充满整个平面这个可以想像得到吧？那就是说至少存在1点（其实是有无穷多个，不过按照题目意思只要有一个就足够了），不在这21条直线上，从而这个点O到这7个点的距离均不相等（譬如如果这7个点有一个是A，一个是B，并且|OA|=|OB|,那么O应该在AB的中垂线上，但O不在这21条中垂线上，故矛盾），那么存在一个数，小于第五长的距离，大于第四长的距离，记为R，那么以O为圆心，以R为半径，即满足题设要求（有4个点到O的距离小于R，所以在圆内，有3个点到O的距离大于R，所以在圆外）
第一段是证明21条直线不能充满整个平面。