UC知道是不是周期函数的傅里叶级数的和函数也是周期函数？
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/06 02:18:32
f(x)满足狄利克雷收敛条件，它的傅里叶级数的和函数是g（x），当0<x<π ，f（x）=x, 当 -π<x<0 ，f（x）=x+2π，f（x）的周期是2π
计算得，f(x)的傅里叶级数中a0=2π ，an=0
收敛定理得出的f(x)的傅里叶级数的和函数g（x）为：
当0<x<π ，g（x）=x, 当 -π<x<0 f（x）=x+2π，当 x=0，g（x）=π
问题是：（1）如何证出g（x）也是周期函数？
（2）是不是周期函数的傅里叶级数的和函数也是周期函数？
请写出两个问题的具体证明步骤
计算得，f(x)的傅里叶级数中a0=2π ，an=0
收敛定理得出的f(x)的傅里叶级数的和函数g（x）为：
当0<x<π ，g（x）=x, 当 -π<x<0 f（x）=x+2π，当 x=0，g（x）=π
问题是：（1）如何证出g（x）也是周期函数？
（2）是不是周期函数的傅里叶级数的和函数也是周期函数？
请写出两个问题的具体证明步骤
（1）
g(x)=a0+Sum(bn*sin(n*x))
g(x+2π)
=a0+Sum(bn*sin(n*(x+2π)))
=a0+Sum(bn*sin(nx+2nπ))
=a0+Sum(bn*sin(nx))
=g(x)
故g(x)是周期函数
（2）是的
设
g(x)=a0+Sum(bn*sin(n*w*x))+Sum(an*cos(n*w*x))
其中w=2*π/T,即w*T=2π
则
g(x+T)
=a0+Sum(bn*sin(n*w*(x+T))+Sum(an*cos(n*w*(x+T))
=a0+Sum(bn*sin(nwx+nwT))+Sum(an*cos(nwx+nwT))
=a0+Sum(bn*sin(nwx+n*2π))+Sum(an*cos(nwx+n*2π))
=a0+Sum(bn*sin(n*w*x))+Sum(an*cos(n*w*x))
=g(x)
#
(1)用定义就行，g的表达式不是一串sin cos的和么？sin cos不都有周期性么？
(2)是的