将一条绳子分成三段，这三段能组成三角形的概率是多少？

用得着微积分吗？我们只要把不等式组的解集表示平面直角坐标系的一块面积即可。初中数学即可解决问题。
设绳长为12，分成的三段分别为x,y,12-x-y，且x>y>12-x-y，则x,x应满足以下5条关系：x+y<12, x>0, y>0, x>y, y>12-x-y，在平面直角坐标系中是以(12,0), (6,6), (4,4)为顶点的三角形区域，易求出面积等于12。
由于x>y>12-x-y，只需再满足x<6，这三段就能构成三角形。即在上述5条关系后再加上第6条：x<6，组成了以(6,3), (6,6), (4,4)为顶点的三角形区域，易求出面积等于3。
问题就解决了，构成三角形的概率是3/12=1/4

最后说一句，这个结果不受x=6的特殊情况影响。因为图形是由无数个点组成的。

设绳长为a，作一高为a的等边三角形。过三角形内一点作三边的垂线。垂线长即边分绳长度。然后点若在三条中位线构成的三角形中，则满足条件。所以是四分之一。运用初中几何可以证明。

这是一个无法计算的问题。
题目中虽然说是把一条绳子分成三段，但是实质上，与 任意拿来三条 长度任意 的线段 没有任何区别。因为切割绳子的时候，每段绳子的长度不是量子化的长度，而可以连续取值。
组成三角形的条件是 任两边之和必须大于第3边。任意 拿来三条 长度任意 的线段，能否组成三角形，这个是计算不出几率的。
不过这个题目很有创意。

看到楼下 opear 的精彩回答 想补充几句：

假设绳子总长为10。第一刀剪断成 1 和9。第二刀选择 9的概率为50%。接下来，第二刀必须选择切在 4 至 5 之间。这个概率为 1/9。所以总的概率为 1/18。不是阁下说的25%。
假设第一刀切为 2 和8。第二刀必须选择切在 3 和 5 之间。这个概率为 2/8。总概率为 1/2* 2/8 = 1/8。

设总长度为1。假设第一刀切得短绳子长度为 总长 的 x，（x为分数，且小于1/2）。长绳部分的长度为 1-x。 第二刀必须选择在 (1-x)/2 - x/2 至 (1-x)/2 + x/2