高1不等式一道

方法1：
令g(x)=x
h(x)=(x^2+1)/2
令g(x)=h(x),得x=1
即g(x),h(x)切于点(1,1)
x≤f(x)≤(x^2+1)/2对一切x恒值成立
f(x)与g(x)也切于点(1,1)
f'(x)=2ax+b
于是有
f'(1)=2a+b=1
f(1)=a+b+c=1
f(-1)=a-b+c=0
解得:
a=1/4
b=1/2
c=1/4
f(x)=x^2/4+x/2+1/4

方法2：
因为f(-1)=0 则 a-b+c=0 ......1式
又因为x≤f(x)≤(x^2+1)/2 则可得
ax^2+bx+c>=x ==> ax^2+(b-1)x+c>=0 ....2式
ax^2+bx+c<=(x^2+1)/2 ==> (2a-1)x^2+2bx+(2c-1)<=0 ....3式
因为上两式对一切x恒成立,,则 2式中a>0 开口向上,且只一个根,则
判别式 (b-1)^2-4ac=0 3式中a<0 开口向下,且只有一根,则
判别式 (2b)^2-4(2a-1)(2c-1)=0
联立两个判别式 和1式,,可求得a,b,c的值
a=1/4 b=1/2 c=1/4

设f(X)=aX^2+bX+c
由f(-1)=0 ,f(1)=1，得
a+b+c=1
a-b+c=0
b=1/2
a+c=1/2
且a>0
即f(X)=aX^2+1/2*X+1/2-a
∵X≤f(x)
即f(X)-X≥0
aX^2-1/2*X+1/2-a≥0恒成立
∴a>0,△≤0
1/4-4a(1/2-a)≤0
4a^2-2a+1/4≤0
(2a-1/2)^2≤0
a=1/4
c=1/4
即f(x)=1/4*