已知函数f（x）=x+m/x，且f（1）=2。证明f（x）的奇偶性。

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/10 06:20:41
已知函数f（x）=x+m/x，且f（1）=2。
1.判断f（x）的奇偶性。
2.判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并给出证明。
3.若f（a）〉2，求a的取值范围。

解:F(1)=1+M/1=2,∴M=1.故F(X)=X+1/X.
∵X>0,1/X>0,故可由均值不等式得X+1/X≥2√[X*(1/X)]=2,当且仅仅X=1/X,
即X=1时等号成立.也就是说,F(1)=2是F(X)在(1,+∞)上的最小值,因此F(X)=
X+1/X在(1,+∞)上单调增加.
也可用单调性定义予以证明.
设X1<X2是区间(1,+∞)上的任意两点,则
F(X2)-F(X1)=(X2+1/X2)-(X1+1/X1)=(X2-X1)-(1/X1-1/X2)
=(X2-X1)-(X2-X1)/(X1*X2)=(X2-X1)[1-1/(X1*X2)]>0
这是因为X2>X1>1,∴X2-X1>0,X1*X2>1,1/(X1*X2)<1,1-1/(X1*X2)>0之
故.
∴F(X)在(1,+∞)上是增函数.
最小值为2，所以当a不等于2时都有f（a）〉2