1+3+6+10+.....n(n+1)/2

解：
设数列{An},A1=1*2/2,A2=2*3/2,…,An=n(n+1)/2,则通项为An=n(n+1)/2
故1+3+6+10+.....n(n+1)/2=∑An…①

2*∑An=1x2+2x3+…+n(n+1)=1*(1+1)+2*(2+1)+…+n(n+1)
=(1^2+2^2+…+n^2)+(1+2+…+n)
=n(n+1)(2n+1)/6 + n(n+1)/2
=n(n+1)(n+2)/3

故1+3+6+10+.....n(n+1)/2=∑An=n(n+1)(n+2)/6

注意：此题中Sn=1+2+…+n=n(n+1)/2 是常识无须说明；

至于1^2+2^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6书中已给出并有证明，这里做题时可不用证明。

但在我这里给出证明如下：
由方差公式
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
.....
.....
.....

n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n

各等式相加消项：
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
得下等式：
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
从而1^2+2^2+3^2+.