PQMN四点都在椭圆上

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/23 12:30:01
椭圆方程为x²+(y² /2）=1上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，已知向量PF与向量PQ共线，MF向量与FN向量共线，且PF向量.MF向量=0求四边形PMQN面积的max和min

向量PF与向量PQ共线，向量PF*向量MF=0
则P、Q、F在同一直线上，PF⊥MF
设过F的直线方程PQ为x=ky-k 则MN为x=-y/k y/k P(x1,y1) Q(x2,y2) M(x3,y3) N(x4,y4)
联立PQ和椭圆方程得(2k^2 1)y^2-4k^2y 2k^2-2=0 则 y1 y2=-b/a=4k^2/(2k^2 1)
联立MN和椭圆方程得(k^2 2)y^2-4y 2-2k^2=0 则y3 y4=-b/a=4/(k^2 2)
椭圆上的点到上焦点的距离=(c/a)d=√2/2, 其中d为该点到上准线的距离即y=a^2/c=2
PQ=(√2/2)*(2-y1 2-y2)=2√2(k^2 1)/(2k^2 1)
MN=(√2/2)*(2-y3 2-y4)=2√2(k^2 1)/(k^2 2)
S=PQ*MN/2=4(k^2 1)^2/[(2k^2 1)(k^2 2)]=4/9[(2k^2 1)/(k^2 2) (k^2 2)/(2k^2 1) 2]
≥4/9(2 2)=16/9当且仅当2k^2 1=k^2 2即k^2=1时取等号
【利用了3(k^2 1)=(2k^2 1) (k^2 2)】
S最小值为16/9
当PQ、MN分别为椭圆的长轴和短轴时，面积最大S=2a*2b/2=2√2