2个数学单调区间问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/15 18:03:43
证明函数 y=x+ 1/x在区间[1,+无穷)上是增函数.

判断函数f(x)=x/(x^2-1)在区间(-1,1)上的单调性，给出证明.

我2个中的问题差不多，可能是某个地方没拐过弯来
第二个解决了

1，假设1<x1<x2 ，
f(x2)-f(x1)=(x2-x1)+(x1-x2)/(x1x2)=(x2-x1)(1-1/(x1x2))
x2-x1>0,而x1x2>1,故1-1/(x1x2)>0
f(x2)-f(x1)>0，即f(x1)<f(x2)
故y=x+ 1/x在区间[1,+)上是增函数.
2，同理，设-1<x1<x2<1 ，
f(x2)-f(x1)=x2/(x2^2-1)-x1/(x1^2-1)
=（1+x1x2)*(x1-x2)/[(x2^2-1)*(x1^2-1)]
-1<x1<x2<1,得知-1<x1x2<1,即1+x1x2>0
x1-x2<0,x2^2-1<0,x1^2-1<0
故f(x2)-f(x1)<0,得f(x1)>f(x2)
故f(x)=x/(x^2-1)在区间(-1,1)上减函数

第一题如果不用导数做,设1<x1<x2

则f(x2)-f(x1)=(x2-x1)+(x1-x2)/(x1x2)=(x2-x1)(1-1/(x1x2))>0 *
因为x2-x1>0,而1-1/(x1x2)>1-1/1=0

所以*式必大于0,即f(x)单增