在△ABC中，角C=90°，M在BC上，且BM=AC，点N在AC上，且AN=MC，AM和BN交于P，求角BPM的度数

延长 AC 到 D，使 CD = CM
则 ∠D = 45 度

做 MQ||CA ， 交 BN 于 Q。则
△BMQ ∽ △ BCN 以及 △MQP ∽ △ANP

设 BM = AC = x， CM = AN = y
MQ/CN = BM/BC
MQ/(x-y) = x/(x+y)
MQ = x(x-y)/(x+y)

PA/PM = AN/MQ
PA/PM + 1 = AN/MQ + 1
AM/PM = AN/MQ + 1 = y(x+y)/[x(x-y)] + 1 = (x^2 + y^2)/[x(x-y)]
（符号 ^2 表示 平方）

三角形 MCA是直角三角形 ，所以
AM^2 = x^2 + y^2
因此
AM/PM = AM^2/[x(x-y)]
PM = x(x-y)/AM

PM/AD
= PM/(x+y)
= x(x-y)/[(x+y) * AM]
= QM/AM
同时 ∠QMP = ∠PAN
因此
△PMQ ∽ △DAM

则
∠BPM = ∠D = 45 度

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其它证明方法请参见:
http://zhidao.baidu.com/question/8619847.html?si=2