08年全国高中数学联赛决赛四川赛区答案

一、（本题满分50分）
如题一图，给定凸四边形 ， ， 是平面上的动点，令 ．
（Ⅰ）求证：当 达到最小值时， 四点共圆；
（Ⅱ）设 是 外接圆 的 上一点，满足： ， ， ，又 是 的切线， ，求 的最小值．
[解法一] （Ⅰ）如答一图1，由托勒密不等式，对平面上的任意点 ，有
．
因此
．
因为上面不等式当且仅当 顺次共圆时取等号，因此当且仅当 在 的外接圆且在 上时，
． …10分
又因 ，此不等式当且仅当 共线且 在 上时取等号．因此当且仅当 为 的外接圆与 的交点时， 取最小值 ．
故当 达最小值时， 四点共圆． …20分
（Ⅱ）记 ，则 ，由正弦定理有 ，从而 ，即 ，所以
，
整理得 ， …30分
解得 或 （舍去），
故 ， ．
由已知 = ,有 ，即 ，整理得 ，故 ，可得 ， …40分
从而 ， ， 为等腰直角三角形．因 ，则 ．
又 也是等腰直角三角形，故 ， ， ．
故 ． …50分
[解法二] （Ⅰ）如答一图2，连接 交 的外接圆 于 点（因为 在 外，故 在 上）．
过 分别作 的垂线，两两相交得 ，易知 在 内，从而在 内，记 之三内角分别为 ，则 ，又因 ， ，得 ，同理有 ， ，
所以 ∽ ． …10分
设 ， ， ，
则对平面上任意点 ，有

，
从而 ．
由 点的任意性，知 点是使 达最小值的点．
由点 在 上，故 四点共圆． …20分
（Ⅱ）由（Ⅰ）， 的最小值

，
记 ，则 ，由正弦定理有 ，从而 ，即 ，所以
，
整理得 ， …30分
解得 或 （舍去），
故 ， ．
由已知 = ,有 ，即 ，整理得 ，故 ，可得 ， …40分
所以 ， 为等腰直角三角形， ， ，因为 ， 点在 上， ，所以 为矩形， ，故 ，所以 ． …50分
[解