一道道简单的初中数学题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/07 20:11:42
1.已知2000x的三次方=2001y的三次方=2002z的三次方，x*y*z大于0，三次根号2000x的平方+2001y的平方+2002z的平方=三次根号2000+三次根号2001+三次根号2002.求证：1/x+1/y+1/z=1

令2000x^3=2001y^3=2002z^3=N，题中方程立方得
2000x^2+2001y^2+2000z^2=（3次√2000+3次√2001+3次√2002）^3
两边同除以N
左边：(2000x^2+2001y^2+2000z^2)/N=2000x^2/N+2001y^2/N+2000z^2/N
=2000x^2/2000x^3+2001y^2/2001y^3+2000z^2/2002z^3
=1/x+1/y+1/z

右边：（3次√2000+3次√2001+3次√2002）^3/N
=[(3次√2000/3次√N)+(3次√2001/3次√N)+(3次√2002/3次√N)]^3
=[(3次√2000/3次√2000x^3)+(3次√2001/3次√2001y^3)+(3次√2002/3次√2002z^3)]
=(1/x+1/y+1/z)^3

即是 1/x+1/y+1/z=(1/x+1/y+1/z)^3
化简 (1/x+1/y+1/z)^2=1

因为 2000x^3=2001y^3=2002z^3且xyz大于0
所以 x>0,y>0,z>0
所以 1/x+1/y+1/z=1

得证