二次函数 练习题

已知：抛物线y= -x^2 +2x +8交X轴于A、B两点（A在B左侧），O是坐标原点。
1、动点P在X轴上方的抛物线上（P不与A、B重合），D是OP中点，BD延长线交AP于E
问：在P点运动过程中，PE：PA是否是定值？是，求出其值；不是，请说明理由。
2、在第1问的条件下，是否存在点P，使△PDE的面积等于1 ？
若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。

解：1.y= -x^2 +2x +8=-(x-4)(x+2)
所以OA=2 OB=4
自己画图,由△面积等于底*高/2.
可以知道PE:EA=S△PDE:S△ADE
由于PD=OD,那么S△PDE=S△ODE
所以PE:EA=S△ODE:S△ADE
由图可知△ODE和△ADE同底,则S△ODE:S△ADE=两三角形高之比OG:AH
显然△BAH和△BOG相似,那么OG:AH=OB:AB=2:3
所以PE:EA=2:3
那么PE：PA=PE:PE+AE=2:5为定值

2.设P点为(X,Y)
PE：PA=2:5
所以S△PDE=(2/5)*S△PDA
S△AOP=Y*2/2=Y
S△AOD=Y/2(因为D是OP中点)
所以S△ADP=S△AOP-S△AOD=Y/2
则S△PDE=(2/5)*(Y/2)=Y/5
当S△PDE=1时 Y=5
对应X=-1或2
则P点坐标为(-1,5)或(2,5)

2.一个横截面为抛物线的隧道底部宽12米，高6米，如图5车辆双向通行。规定车辆必须在中心线右侧，距道路边缘2米这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于 米的空隙，你能否据这些要求，确定通过隧道车辆的高度限制？

解：先建立直角坐标系

设隧道横截面抛物线的解析式为y=ax平方 +6
当x=6时，y=0，a=1/6
解析式是 y=1/6 x的平方+6
当x=6-2=4时，y=3/10
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