如何证明1/4+1/9+1/16+……+1/（n+1)*2小于1

这个没有通项公式的
利用1/n^2<1/(n(n-1))=1/(n-1)-1/n

1/(2^2)+1/(3^2)+1/(4^2)+……+1/(n^2)
<(1-1/2)+(1/2-1/3)+... (1/(n-1)-1/n)=1-1/n<1

典型的放缩法裂项相消。
对于任意的1/n^2，都可以往两边放缩，即1/n-1/(n+1)=1/n(n+1)<1/n^2<1/n(n-1)=1/(n-1)-1/n，此题就要用到后半段。

1/4=1/2^2<1/(1*2)=1-1/2
1/9=1/3^2<1/(2*3)=1/2-1/3
1/16=1/4^2<1/(3*4)=1/3-1/4
……
1/(n+1)^2<1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)

两边相加以后即为
原式左边<1-1/2+1/2-1/3+1/3-……-1/n+1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1)<1，得证。