P为三角形ABC内任意一点，求证：∠BPC=∠ABP+∠ACP+∠A

延长AP交BC于D
则∠BPD=∠ABP+∠BAP
∠CPD=∠ACP+∠CAP
又∠CPD+∠BPD=∠BPC，且∠BAP+∠CAP=∠A
则∠BPC=∠BPD+∠CPD=∠ABP+∠ACP+∠BAP+∠CAP=∠ABP+∠ACP+∠A
证毕。

证:延长BP交AC于D
∵∠ABP+∠A=∠BDC(三角形二个内角之和等于另一个角的外角)
∠BDC+∠ACP=∠BPC(三角形二个内角之和等于另一个角的外角)
∴∠BPC=∠ABP+∠ACP+∠A

证明：∠BPC=180度-∠PBC-∠PCB=180度-（∠PBC+∠PCB)=180度-（180度-∠A-∠ABP-∠ACP)=180度-180度+∠A+∠ABP+∠ACP=∠A+∠ABP+∠ACP