初等数学论 完全剩余系

楼上关于第一问的证明是正确的.
第二问:{a1b1，a2b2，...ambm}等价于{0,1^2,2^2,3^2....(m-1)^2},假设其中两个元素关于m同余,即

(m-k)^2-(m-n)^2 整除m,其中k=!n,1=<k<m,1=<n<m,(m-k)^2-(m-n)^2 整除m,即

k^2-n^2 整除m.令k^2-n^2=m,即(k+n)=m,k-n=1,

则 k=(m+1)/2, n=(m-1)/2,由m是奇数,可知用这种方法确定的k,n是正整数,且(m-k)^2与(m-n)^2 关于m同余,故
{a1b1，a2b2，...ambm}不能构成模m的完全剩余系

只要证明{0,2,4,...,2(m-1)}构成模m的完全剩余系即可，这是因为{0,2,4,...,2(m-1)}就是{a1+b1，a2+b2...am+bm}。
反证假设，如果在集合{0,2,4,...,2(m-1)}中有两个元素模m同余，不妨设为2x和2y模m同余(0<=y<x<m)，则2x-2y能被m整除。
注意到m为奇数，则x-y也能被m整除。但是由0<=y<x<m可知，0<x-y<m，矛盾
因此反证假设不成立，{0,2,4,...,2(m-1)}构成模m的完全剩余系。