数列和极限难题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/24 07:21:03
求Lim{n→+∞}{1^2/(n^3+1)+2^2/(n^3+2)+3^2/(n^3+3).....+n^2/(n^3+n)}=????
n^2表示n的平方 n^3表示n的三次方
请写出具体的解答过程
不用放缩法如何求解？？？？

运用放缩法和夹逼准则
令Xn=1^2/(n^3+1)+2^2/(n^3+2)+3^2/(n^3+3).....+n^2/(n^3+n)

Yn=1^2/(n^3+n)+2^2/(n^3+n)+3^2/(n^3+n).....+n^2/(n^3+n)
=(1^2+2^2+3^2+…+n^2)/(n^3+n)
同理
Zn=(1^2+2^2+3^2+…+n^2)/(n^3+1)
显然 Yn<=Xn<=Zn
运用自然数平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=1/6*n(n+1)(2n+1)
则 Lim{n→+∞}Yn=Lim{n→+∞}{[1/6*n(n+1)(2n+1)]/(n^3+n)}
=Lim{n→+∞}{1/6*(n+1)(2n+1)/(n^2+1)}
=Lim{n→+∞}{(1/6)*2}=1/3
Lim{n→+∞}Zn= Lim{n→+∞}{(1^2+2^2+3^2+…+n^2)/(n^3+1)}
= Lim{n→+∞}{ [1/6*n(n+1)(2n+1)]/[(n+1)(n^2-n+1)]
= Lim{n→+∞}{ [1/6*n(2n+1)]/[(n^2-n+1)]
= Lim{n→+∞}{(1/6)*2}=1/3= Lim{n→+∞}Yn
故原式极限Lim{n→+∞}Xn=1/3

给分太少！