微分通解问题 Part II

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/10 22:13:44
拜托求解...
最好能说明过程是如何化简的...
我太差...有时候还是会搞混...

(1) xy' = x + y

(2) y' = y/x + x

(3) xy' = y + x e^y/x

第(3)题不知道有没有打错@@

--------越快越好 奖励---------

((上次谢谢dngxp大大解答))

(1)齐次方程
dy/dx=1+(y/x)
令y/x=u y=xu dy/dx=u+xdu/dx
原方程化为u+xdu/dx=1+u
du/dx=1/x
du=dx/x
u=Cln(x绝对值)
原方程通解为y/x=Cln(x绝对值)
(2)一阶欧拉方程
xdy/dx-y=x^2
令x=e^t t=lnx
dy/dx=(dy/dt)(dt/dx)=dy/xdt
则原方程化为dy/dt-y=e^(2t)
y=e^(2t)+Ce^t
代回得方程通解为y=x^2+Cx
(3)还是齐次方程
dy/dx=(y/x)+e^(y/x)
令y/x=u 则dy/dx=u+xdu/dx
原方程为u+xdu/dx=u+e^u
xdu/dx=e^u
e^(-u)du=dx/x
-e^(-u)=Cln(x绝对值)
原方程的通解为e^(-y/x)=Cln(x绝对值)