极难的数学椭圆题~~数学高手进!

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/31 02:22:50
F1,F2分别是椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左、右焦点，当离心率在什么范围内取值时，椭圆上总有点P，使PF1垂直与PF2？
详细点~~~~~~~```

此题解法不一。
解：设椭圆的半焦距为c，则由椭圆的定义和题设，得：
PF1+PF2=2a...(1)（椭圆的第一定义）
PF1^2+PF2^2=F1F2^2=4c^2...(2)(勾股定理）
此方程组可化为 PF1+PF2=2a...(1)
PF1*PF2=2(a^2-c^2)..(3)
因为P点存在的冲要条件是关于PF1，PF2的方程组（1），（3）有解；由（1），（3）得PF1，PF2是关于t的方程t^2-2at+2(a^2-c^2)=0的两正根，所以此二次方程有根，即
判别式=4a^2-8(a^2-c^2)>=0
解得:c^2/a^2>=1/2,即根号2/2<e=c/a<1
所以离心率的范围是[根号2/2，1).

e<=sqrt(1/2)

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