数学题高手进 详细过程

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/20 12:41:50
某小区欲建一面积为a米^2的矩形绿地,绿地的长边外小路宽5米,短边外销路宽8米,绿地的长边至少20米至多28米,当a=640时怎么设计绿地的长和宽,使绿地和小路占地面积最小?

设长边为 L (20 ≤ L ≤28)，则 短边为 640/L ,
则 S = （L + 2*8）（640/L + 2*5)
=640 + 10L + 640*16/L + 160
=10(L + 64*16/L) + 800
令f(L) = L + 64*16/L
则 f(L) = L + 64*16/L ≥ 2√L* 64*16/L =64
当且仅当 L = 64*16/L 时取等号 ， 解得 L = 32 ，
而由题意 20 ≤ L ≤28 ，因此不能取等号 。
先说一下 f(x) = x + b/x (x＞0）的增减性吧
(0, √b]为减函数，[√b, +∞)为增函数 。这个应该很好理解吧，
因为 当 x = √b是最小，如果画函数图像，就应该是它的最底端
所以前面为递减，后面为递增。
所以函数 f(L) = L + 64*16/L 在 （0，√64*16]为减函数 ，[ √64*16,∞]
为增函数 ，因此 f(L)的最小值应为 f(28) （因为它们都在√64*16 的前面，因此为递减）
也就是 绿地的长边为 28米 ，短边为 640/28=160/7 ≈22.86 米 。