证明三角形内最大矩形的面积是三角形面积的一半

本题不画图，还真不容易说清楚，我们试试吧！
将矩形的边向两边延长，有八只脚。三角形只三个边，必有一边交三脚，三脚中，必有一对平行者。由此出发，通过“作平行线或垂线”的方法，总可以在不变小面积的条件下，通过矩形或平行四边形，把原矩形换为一个新矩形，其一边在三角形一边上，另两个顶点分别在三角形的另外两个边上。
我们可设开始即如此，矩形DEFG在⊿ABC之内，DE在BC上，G在AB上，F在AC上。
设A关于GF的对称点为A′, B关于GD的对称点为B′, C关于FE的对称点为C′.
⊿ABC,矩形DEFG，⊿AGF,⊿BDG,⊿EFC,⊿A′B′C′的面积分别是S,S0,S1,S2,S3,S4.
则有S0＝S1＋S2＋S3－S4,
S＝S0＋S1＋S2＋S3.
S＝S0＋（S0＋S4）＝2S0＋S4≥2S0
当S4＝0时，（A′在BC上，）
S＝2S0
即：
三角形内最大矩形的面积是三角形面积的一半。

竹林雨绵绵 ，画个图吧，希望你满意！
，

设三角形的底边为a，高为h，矩形的与a垂直的一边为x，另一边为y。三角形面积=ah/2
根据三角形相似，对应高的比等于相似比可得，（h-x）/h=y/a
所以y=a（h-x）/h，
所以矩形面积=xy=ax（h-x）/h
=-a/h（x-h/2)^2+ah/4
因为-a/h（x-h/2)^2<=0
所以矩形面积=-a/h（x-h/2)^2+ah/4<=ah/4=三角形面积的一半

如图，在△ABC中，AO⊥BC，设AO=1，BC=2a ，
所以S△ABC=a ，a是正实数；
在矩形DEFG中，设DE=x ，
由△BDE∽△BOA，得DE/AO=BD/BO，所以BD=x*BO ，
由△CGF∽△COA，得FG/AO=CG/CO，所以CG=x *CO ，
DG=BC-（BD+CG）=2a（1-x），
矩形DEFG面积=DG*x=2a（1-x）*x=2a[ 1/