证明：直径是d的圆形的面积最大内接矩形是正方形

已知圆的内接矩形的对角线经过原点，所以其对角线为d
设该矩开有长，宽分别为x,y,则
x²+y²=d²
=>y²=d2-x²
而矩形的面积S=xy
=>S²=x²y²=x²(d²-X²)
设X=x²,则
S²=X(d²-X)
=-X²+d²X
成一个二次函数
所以当X=-d²/2(-1)=d²/2时，S²有最大值
即x²=d²/2时，S²有最大值,即S有最大值
=>y²=d²-x²=d²/2=x²
=>x=y，即为正方形

楼上的解法很正规，但似乎稍麻烦了一点。
我用几何办法解：
设，矩形为ABCD对角线交点为O,O必为圆心。
矩形ABCD的面积=面积的四倍，只要让三角形OAB面积最大即可。
三角形OAB的两边的长(OA,OB)都是半径长，由三角形面积公式S=0.5*ab*sinC,
只要sin角AOB最大即可。
此时AO垂直于BO,ABCD为正方形。